Question

3．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S₅=4a₃+6，且a₂，a₃，a₉成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）如果a₁≠a₅，求數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的定義，設(shè)出公差d，利用S₅=4a₃+6，且a₂，a₃，a₉成等比數(shù)列．建立關(guān)系式，求解公差d和a₁，即可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求出等差數(shù)列S_n；數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的通項公式；裂項相消法求解前n項和．

解答 解：（1）由題意：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差d，首項為a₁，S₅=4a₃+6，
則：S₅=4a₃+6=5a₁+$\frac{5×4d}{2}$，
∴a₁+2d=6…①
又∵a₂，a₃，a₉成等比數(shù)列
∴（a₁+2d）²=（a₁+d）（a₁+8d）
∴da₁=d²…②
由①，②可得：a₁=2，d=2或a₁=6，d=0．
故得數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2n或a_n=6．
（2）∵a₁≠a₅
∴a_n=2n
S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}×d$=n²+n；
則：數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的通項公式：$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項和為：$\frac{1}{{S}_{1}}+\frac{1}{{S}_{2}}+…+\frac{1}{{S}_{n}}$=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=$1-\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$；
故得數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項和為$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運算能力，裂項相消法求解前n項和，屬于基礎(chǔ)題．