(本小題12分)如圖,已知平面,,為等邊三角形,,的中點(diǎn).

(1)求證:平面;

(2)求證:平面平面;

(3)求直線和平面所成角的正弦值.

 

【答案】

(1)證明:見解析;(2)見解析.(3)直線和平面所成角的正弦值為 .

【解析】(1)解本題的關(guān)鍵是在平面BEC內(nèi)構(gòu)造出一條與AF平行的平行線。取的中點(diǎn),連、,然后證明四邊形BGFA為平行四邊形即可。

(2) 關(guān)鍵是證:平面,即證:平面,即CD的中點(diǎn)F,即證:即可。

(3)解本小題的關(guān)鍵是找出線面角。在平面內(nèi),過,連

∵平面平面,∴平面,

和平面所成的角。然后解三角形即可。 

(1)證明:取的中點(diǎn),連、

的中點(diǎn),∴

平面,平面.

,∴

,∴

∴四邊形為平行四邊形,因此

平面,平面.

平面                               …………………………………4分

(2)證明:∵是等邊三角形,的中點(diǎn),

  ∵平面,平面,∴

,故平面

,∴平面

平面,

∴平面平面        ………………………………………………………8分

(3)解:在平面內(nèi),過,連

∵平面平面,∴平面

和平面所成的角            ………………………………10分

設(shè),則

中,

∴直線和平面所成角的正弦值為………………………………………12分

(用空間向量法解答對(duì)應(yīng)給分)

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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     (本小題12分)

如圖3,已知在側(cè)棱垂直于底面

的三棱柱中,AC=BC, AC⊥BC,點(diǎn)D是A1B1中點(diǎn).

(1)求證:平面AC1D⊥平面A1ABB1;

(2)若AC1與平面A1ABB1所成角的正弦值

,求二面角D- AC1-A1的余弦值.

 

 

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(本小題12分)如圖,四棱錐中,

側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,且與底面垂直,底面的菱形,的中點(diǎn).

(1)與底面所成角的大;

(2)求證:平面;

(3)求二面角的余弦值.

 

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(本小題12分)如圖,四棱錐中,底面是正方形,, 底面,    分別在上,且

(1)求證:平面∥平面

(2)求直線與平面面所成角的正弦值.

 

 

 

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(本小題12分)

如圖:⊙O為△ABC的外接圓,AB=AC,過點(diǎn)A的直線交⊙O于D,交BC延長(zhǎng)線于F,DE是BD的延長(zhǎng)線,連接CD。

①  求證:∠EDF=∠CDF;   

②求證:AB2=AF·AD。

 

 

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(本小題12分)如圖,四面體ABCD中,O、E分別是BD、BC的中點(diǎn),

    (I)求證:平面BCD;

    (II)求異面直線AB與CD所成角的大;

    (III)求點(diǎn)E到平面ACD的距離。

 

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