Question

9．已知定義在（1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件：（1）對(duì)任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f（x）=-x²+2x．記函數(shù)g（x）=f（x）-k（x-1），若函數(shù)g（x）恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． [1，2）
• B． [$\frac{4}{3}$，2）
• C． （$\frac{4}{3}$，2）
• D． [$\frac{4}{3}$，2]

Answer 1

分析 由題意得當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）=-x²+2x．，當(dāng)x∈（2，4]時(shí)，f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x．；當(dāng)x∈（4，8]時(shí)，f（x）=-$\frac{1}{4}$x²+2x．；函數(shù)g（x）恰有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=k（x-1）的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．

解答 解：由題意得當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）=-x²+2x，
當(dāng)x∈（2，4]時(shí)，f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x；
當(dāng)x∈（4，8]時(shí)，f（x）=-$\frac{1}{4}$x²+2x；
如圖，函數(shù)g（x）恰有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=k（x-1）的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，
而直線y=k（x-1）過(guò)定點(diǎn)（1，0），
若直線y=k（x-1）過(guò)點(diǎn)（2，2）時(shí)，有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，k=2；
直線y=k（x-1）過(guò)點(diǎn)（4，4）時(shí)，有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，k=$\frac{4}{3}$，
因此實(shí)數(shù)k的取值范圍是[$\frac{4}{3}$，2）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化思想是關(guān)鍵，屬于中檔題．