Question

已知橢圓ax²+y²=4與

x2

12

+

y2

9

=1的焦距相等，則a=

4

7

或4

．

Answer 1

分析：先將橢圓C₁：

x2

12

+

y2

9

=1標(biāo)準(zhǔn)方程，得到它的焦距2c，再將橢圓C₂：ax²+y²=4化成標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合兩個(gè)橢圓的焦距相等，所以橢圓C₂的半焦距也是c，最后分焦點(diǎn)在x軸和y軸兩種情況加以討論，列出將于a的方程，再解之即可求出參數(shù)a的值．

解答：解：將橢圓C₁：

x2

12

+

y2

9

=1標(biāo)準(zhǔn)方程
所以橢圓C₁的半焦距為c=

12-9

=

3

，焦距為2c=2

3

再將橢圓C₂：ax²+y²=4化成標(biāo)準(zhǔn)方程：

x2

4 a

+

y2

4

=1，
兩個(gè)橢圓的焦距相等，所以橢圓C₂的半焦距也是

3

，
接下來分兩種情況討論：
（1）當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，c=

4 a -4

=

3

，解之得a=

4

7

；
（2）當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，c=

4- 4 a

=

3

，解之得a=4
綜上所述，得a的值為

4

7

或4．
故答案為：

4

7

或4．

點(diǎn)評(píng)：本題在兩個(gè)橢圓的焦距相等的情況下，求參數(shù)a的值，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．