Question

設(shè)直線l：y=x+1與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)相交于A、B兩個不同的點，與x軸相交于點F．
（Ⅰ）證明：a²+b²＞1；
（Ⅱ）若F是橢圓的一個焦點，且

AF

=2

FB

，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（I）將直線方程代入橢圓方程消去x，利用判別式大于0求得a和b不等式關(guān)系，原式得證．
（II）設(shè)出A，B的坐標，利用韋達定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，根據(jù)

AF

=2

FB

求得y₁和y₂的關(guān)系式，進而聯(lián)立y₁+y₂和y₁y₂的表達式求得a和b的關(guān)系式，直線L的方程求得F的坐標，進而求得橢圓方程中的c，最后聯(lián)立求得a和b，則橢圓的方程可得．

解答：證明：（Ⅰ）將y=x+1代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，消去x，得（a²+b²）y²-2b²y+b²（1-a²）=0①
由直線l與橢圓相交于兩個不同的點，得△=4b⁴-4b²（a²+b²）（1-a²）=4a²b²（a²+b²-1）＞0
所以a²+b²＞1．
（Ⅱ）解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由①，得y1+y2=

2b2

a2+b2

，y1y2=

b2(1-a2)

a2+b2

因為

AF

=2

FB

，得y₁=-2y₂
所以，y1+y2=

2b2

a2+b2

=-y2，y1y2=

b2(1-a2)

a2+b2

=-2

y

2 2

消去y₂，得

b2(1-a2)

a2+b2

=-2(

2b2

a2+b2

)2
化簡，得（a²+b²）（a²-1）=8b²
若F是橢圓的一個焦點，則c=1，b²=a²-1，
代入上式，解得a2=

9

2

，b2=

7

2

，
所以，橢圓的方程為：

2x2

9

+

2y2

7

=1．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解決此類題要充分發(fā)揮判別式和韋達定理在解題中的作用．靈活應用數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)思想、等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想解題．