Question

如圖①，在平面內，ABCD是∠BAD=60°且AB=a的菱形，ADMA₁和CDNC₁都是正方形． 將兩個正方形分別沿AD，CD折起，使M與N重合于點D₁．設直線l過點B且垂直于菱形ABCD所在的平面，點E是直線l上的一個動點，且與點D₁位于平面ABCD同側（圖②）．
（1）求證：不管點E如何運動都有CE∥面ADD₁；
（2）當線段BE=

3

2

a時，求二面角E-AC-D₁的大小．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的性質,與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由已知條件推導出面BCC₁∥面ADD₁，由此能夠證明CE∥面ADD₁．
（2）設菱形ABCD的中心為O，以O為原點，對角線AC，BD所在直線分別在x，y軸，建立空間直角坐標系所示，利用向量法能求出二面角E-AC-D₁的大�。�

解答： 解：（1）∵CC₁∥DD₁，BC∥AD，
∴面BCC₁∥面ADD₁，
又∵CE?面BCC₁，
∴不管點E如何運動都有CE∥面ADD₁．
（2）設菱形ABCD的中心為O，以O為原點，對角線AC，BD所在直線分別在x，y軸，
建立空間直角坐標系如圖所示，
由題意知A（

3

2

a，0，0），C（-

3

2

a，0，0），D1(0，-

a

2

，a)，E（0，

a

2

，

3

2

a），
∴

AD1

=（-

3

2

a，-

a

2

，a），

AC

=（-

3

a，0，0），
設平面D₁AC的法向量為

n1

=（x₁，y₁，1），
則

n1

•

AD1

=0，

n1

•

AC

=0，
∴

- 3 2 ax1- a 2 y1+a=0 - 3 ax1=0

，∴

n1

=（0，2，1），
又∵

EA

=（

3

2

a，-

a

2

，-

3a

2

），

EC

=（-

3

2

a，-

a

2

，-

3a

2

）
設平面EAC的法向量

n2

=（x₂，y₂，-1），
則

n2

•

EA

=0，

n2

•

EC

=0，
∴

3 2 ax2- 1 2 ay2- 3 2 az2=0 - 3 2 ax2- 1 2 ay2- 3 2 az2=0

，
∴

n2

=（0，3，-1），
設二面角E-AC-D₁的大小為θ，
則cosθ=

0+6-1

5 • 10

=

2

2

，∴θ=45°，
∴二面角E-AC-D₁的大小為45°．

點評：本題考查平面與平面平行的性質，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．