Question

奇函數f（x）的定義域為R，且在[0，+∞）上為增函數，問：是否存在m使f（x²-3）+f（2m-3x）＞f（0）對任意x∈[0，1]都成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,奇偶性與單調性的綜合

專題：函數的性質及應用

分析：根據函數奇偶性的性質結合函數單調性之間的關系，將不等式進行轉化，利用二次函數的最值，即可得到結論．

解答： 解：∵奇函數f（x）的定義域為R，∴f（0）=0，
則不等式f（x²-3）+f（2m-3x）＞f（0）等價為f（x²-3）+f（2m-3x）＞0，
即f（x²-3）＞-f（2m-3x）=f（3x-2m），
∵f（x）在[0，+∞）上為增函數，
∴f（x）在R上是增函數，
若f（x²-3）+f（2m-3x）＞f（0）對任意x∈[0，1]都成立，
等價為x²-3＞3x-2m對任意x∈[0，1]都成立，
即x²-3x-3＞-2m對任意x∈[0，1]都成立，
設g（x）=x²-3x-3，則對稱軸為x=-

-3

2

=

3

2

，
則函數g（x）在[0，1]上是減函數，
∴g（x）的最小值為g（1）=1-3-3=-5，
則滿足-2m＜-5，
解得m＞

5

2

．
故存在m＞

5

2

使f（x²-3）+f（2m-3x）＞f（0）對任意x∈[0，1]都成立．

點評：本題主要考查不等式的求解，根據函數奇偶性和單調性的性質將不等式進行轉化是解決本題的關鍵．