已知橢圓=1,求以點(diǎn)P(2,1)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程.

解法一:設(shè)弦MN所在的直線方程為y-1=k(x-2),

代入橢圓的方程并整理,得(9+16k2)x2-32k(2k-1)x+64(k2-k-2)=0.

設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),

由韋達(dá)定理可得x1+x2=.                 ①

∵P(2,1)是MN的中點(diǎn),

∴=2,即x1+x2=4.                               ②

由①②可得=4,解得k=-.

故弦MN所在的直線方程是y-1=-(x-2),

即為9x+8y-26=0.

解法二:設(shè)弦MN的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)為M(x1,y1)、N(x2,y2),直線MN的斜率為k,則

9x12+16y12=144,                                      ③

9x22+16y22=144,                                      ④

③-④,得9(x1+x2)(x1-x2)+16(y1+y2)(y1-y2)=0.               ⑤

∵P(2,1)是MN的中點(diǎn),

∴x1+x2=4,y1+y2=2,代入⑤得k==-.

故直線MN的方程為y-1=-(x-2),即9x+8y-26=0.


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（12分）已知橢圓C：以雙曲線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，其離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)．

(1)求橢圓C的方程；

(2)若橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，點(diǎn)M是橢圓C上異于A，B的任意一點(diǎn)．

①求證：直線MA，MB的斜率之積為定值；

②若直線MA，MB與直線x＝4分別交于點(diǎn)P，Q，求線段PQ長度的最小值．

 

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如圖，已知橢圓，，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為和.

(1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線、的斜率分別為、，證明；

(3)是否存在常數(shù)，使得

恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

 

 

 

 

 

 

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