Question

若雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的點(diǎn)P（

3a

2

，y）到C的右焦點(diǎn)F₂的距離小于它到C的左準(zhǔn)線l的距離，則C的離心率e的取值范圍是（　�。�

• A、（

  2

  ，+∞）
• B、（1，

  2

  ）
• C、（2，+∞）
• D、（1，2）

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出雙曲線的左右準(zhǔn)線，判斷P在右支上，運(yùn)用雙曲線的第二定義，得到|PF₂|=ed=e（

3a

2

-

a2

c

），再由條件得到不等式，結(jié)合離心率公式，解不等式即可得到e的范圍．

解答： 解：雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的左、右準(zhǔn)線方程為x=±

a2

c

，
由于P的橫坐標(biāo)大于0，則P在右支上，
由雙曲線的定義可得e=

|PF2|

d

（d為P到右準(zhǔn)線的距離），
即有|PF₂|=ed=e（

3a

2

-

a2

c

），
P到左準(zhǔn)線的距離為

3a

2

+

a2

c

，
由條件得，e（

3a

2

-

a2

c

）＜

3a

2

+

a2

c

，
由e=

c

a

，則有e（

3

2

-

1

e

）＜

3

2

+

1

e

，
化簡(jiǎn)得，3e²-5e-2＜0，
解得-

1

3

＜e＜2，
但e＞1，則有1＜e＜2．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的離心率的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．