Question

20．在四面體ABCD中，AB=CD=$2\sqrt{2}$，AD=BD=3，AC=BC=4，點E，F(xiàn)，G，H分別在棱AD，BD，BC，AC上，若直線AB，CD都平行于平面EFGH，則四邊形EFGH面積的最大值是2．

Answer 1

分析 由直線AB平行于平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG，所以HG∥AB，同理EF∥AB，F(xiàn)G∥CD，EH∥CD，所以FG∥EH，EF∥HG．四邊形EFGH為平行四邊形．又AD=BD，AC=BC的對稱性，可知AB⊥CD．
所以：四邊形EFGH為矩形．建立二次函數(shù)關系求解四邊形EFGH面積的最大值．

解答 解：∵直線AB平行于平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG，∴HG∥AB；
同理：EF∥AB，F(xiàn)G∥CD，EH∥CD，所以：FG∥EH，EF∥HG．
故：四邊形EFGH為平行四邊形．
又∵AD=BD，AC=BC的對稱性，可知AB⊥CD．
所以：四邊形EFGH為矩形．
設BF：BD=BG：BC=FG：CD=x，（0≤x≤1）
FG=2$\sqrt{2}$x，HG=2$\sqrt{2}$（1-x）
S_EFGH=FG×HG=8x（1-x）=-8（x-$\frac{1}{2}$）²+2，
根據(jù)二次函數(shù)的性質可知：S_EFGH面積的最大值2．
故答案為2．

點評 本題考查了四面體ABCD中的對稱性來證明四邊形是矩形．同時考查了動點的問題以及靈活性的運用．屬于難題．