Question

5．四棱錐S-ABCD中SA⊥底面ABCD，ABCD是正方形，且SA=AB，若點E是SA的中點．
（1）求證：SC∥平面EBD；
（2）求二面角S-CD-B的大�。�

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC、BD，交于點O，連結(jié)OE，則OE∥SC，由此能證明SC∥平面EBD．
（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角S-CD-B的大小．

解答 證明：（1）連結(jié)AC、BD，交于點O，連結(jié)OE，
∵四棱錐S-ABCD中SA⊥底面ABCD，ABCD是正方形，點E是SA的中點，
∴OE∥SC，
∵OE?平面EBD，SC?平面EBD，
∴SC∥平面EBD．
解：（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標系，
設SA=AB=1，則S（0，0，1），C（1，1，0），D（0，1，0），
$\overrightarrow{SC}=（1，1，-1）$，$\overrightarrow{SD}$=（0，1，-1），
設平面SCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SC}=x+y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SD}=y-z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
平面CBD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設二面角S-CD-B的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴$θ=\frac{π}{4}$．
∴二面角S-CD-B的大小為$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．