Question

4．等差數(shù)列{a_n}中，a₃+a₄=12，S₇=49．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[0.9]=0，[2.6]=2．令b_n=[lga_n]，求數(shù)列{b_n}的前2000項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₃+a₄=12，S₇=49．可得2a₁+5d=12，$7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}$d=49，解出即可得出．
（II）b_n=[lga_n]=[lg（2n-1）]，n=1，2，3，4，5時(shí)，b_n=0.6≤n≤50時(shí)，b_n=1；51≤n≤500時(shí)，b_n=2；501≤n≤2000時(shí)，b_n=3．即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₃+a₄=12，S₇=49．
∴2a₁+5d=12，$7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}$d=49，
解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（II）b_n=[lga_n]=[lg（2n-1）]，
n=1，2，3，4，5時(shí)，b_n=0．
6≤n≤50時(shí)，b_n=1；
51≤n≤500時(shí)，b_n=2；
501≤n≤2000時(shí)，b_n=3．
∴數(shù)列{b_n}的前2000項(xiàng)和=45+450×2+1500×3=5445．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、取整函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)列求和，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．