Question

設

a

=（cosx，sinx），

b

=（cosx，

3

cosx），f（x）=

a

•

b

，x∈R．
（1）求f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）當x∈[0，

π

2

]時，求f（x）的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,平面向量數(shù)量積的運算,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）先利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式進行化簡，根據三角函數(shù)的單調性求得函數(shù)單調增區(qū)間．
（2）根據x的范圍確定2x-

π

3

的范圍，繼而根據余弦函數(shù)的圖象與性質求得起最大和最小值．

解答： 解：（1）f（x）=cos²x+

3

sinxcosx=

1

2

（cos2x+1）+

3

2

sin2x=cos2xcos

π

3

+sin2x•sin

π

3

+

1

2

=cos（2x-

π

3

）+

1

2

，
當2x-

π

3

∈[2kπ+π，2kπ+2π]，k∈Z，時，f（x）單調增，
x∈[kπ+

2π

3

，π+

7π

6

]，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為[kπ+

2π

3

，π+

7π

6

]，k∈Z，
（2）當x∈[0，

π

2

]時，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，令u=2x-

π

3

，f（x）=cosu+

1

2

函數(shù)f（x）在[-

π

3

，0]上遞增，在[0，

2π

3

]上遞減，
∴cos（-

π

3

）=

1

2

，cos0=1，cos

2π

3

=-

1

2

，
∴x當∈[0，

π

2

]時，f（x）的值域為[0，

3

2

]．

點評：本題主要考察了三角函數(shù)恒等變換的應用，三角函數(shù)圖象與性質．考察了學生綜合素質的體現(xiàn)．