Question

設(shè)k是一個(gè)正整數(shù)，（1+

x

k

）^k的展開式中第四項(xiàng)的系數(shù)為

1

16

，記函數(shù)y=x²與y=kx的圖象所圍成的陰影部分為S，任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，則點(diǎn)（x，y）恰好落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為（　�。�

• A、

  17

  96

• B、

  5

  32

• C、

  1

  6

• D、

  7

  48

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型,定積分在求面積中的應(yīng)用

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：先利用二項(xiàng)式定理求出k值，再利用積分求陰影部分的面積，那積分的上下限由求方程組得到．然后利用幾何概型的概率公式解答．

解答： 解：根據(jù)題意得

C

3 k

(

1

k

)3=

1

16

，
解得：k=4或 k=

4

5

（舍去）
解方程組

y=x2 y=4x

，
解得：x=0或4
∴陰影部分的面積為

∫

4 0

(4x-x2)dx=(2x2-

1

3

x3)

|

4 0

=

32

3

，
任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，則點(diǎn)（x，y）對(duì)應(yīng) 區(qū)域面積為4×16=64，
由幾何概型概率求法得點(diǎn)（x，y）恰好落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為

32 3

64

=

1

6

；
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了定積分、二項(xiàng)式定理和幾何概型的概率求法，應(yīng)用定積分求平面圖形面積時(shí)，積分變量的選取是至關(guān)重要的，屬于基礎(chǔ)題．