Question

如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=2，E是PD的中點．
（1）求證：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求二面角E-AC-D所成平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)PA⊥平面ABCD，得到PA⊥CD，結(jié)合AD⊥CD可得CD⊥平面PAD，因為CD是平面PDC內(nèi)的直線，所以平面PDC⊥平面PAD；
（2）取AD中點O，過O作OF⊥AC于F，連接EO、EF，利用線面垂直的判定與性質(zhì)，可證出∠EFO就是二面角E-AC-D的平面角．在Rt△EOF中，分別算出OF和EF的長，可得∠EFO的余弦值，即為所求二面角的平面角的余弦值．
解答：解：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，∴PA⊥CD
∵AD⊥CD，PA、AD是平面PAD內(nèi)的相交直線，∴CD⊥平面PAD
∵CD⊆平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD；
（2）取AD中點O，連接EO，
∵△PAD中，EO是中位線，∴EO∥PA
∵PA⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，
∵AC⊆平面ABCD，∴EO⊥AC
過O作OF⊥AC于F，連接EF，則
∵EO、OF是平面OEF內(nèi)的相交直線，
∴AC⊥平面OEF，所以EF⊥AC
∴∠EFO就是二面角E-AC-D的平面角
由PA=2，得EO=1，
在Rt△ADC中，設(shè)AC邊上的高為h，則AD×DC=AC×h，得h=
∵O是AD的中點，∴OF=×=
∵EO=1，∴Rt△EOF中，EF==
∴cos∠EFO==
點評：本題給出特殊的四棱錐，叫我們證明面面垂直并求二面角的余弦值，著重考查了平面與平面所成角的求法和線面垂直的判定與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．