Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓： 的左、右焦點(diǎn)分別為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，且點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如圖所示，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作直線（斜率存在且不為0）交橢圓于兩點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，直線交軸于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)（異于）在橢圓上運(yùn)動(dòng).

①證明： 為常數(shù)；

②當(dāng)時(shí)，利用上述結(jié)論求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）第（1）問(wèn)，由兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形得到，再由點(diǎn)在橢圓上得到方程，最后解方程組即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)第（2）問(wèn)第①問(wèn)，先求出，再利用已知條件化簡(jiǎn)得到為常數(shù).第②問(wèn)，先求出的三角函數(shù)表達(dá)式，再研究它的取值范圍.

試題解析：

(1)由兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，可知，

所以橢圓的方程為，

又點(diǎn)在橢圓上，

所以，

故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）①易知且不與軸垂直，

設(shè)， ，

由對(duì)稱性可知，

所以，從而，

因?yàn)辄c(diǎn)， 在橢圓上，

所以 ，

因此為常數(shù).

②當(dāng)時(shí)，可知，

由 ，

因此直線的方程為，

令，所以，且已知，

因此.

設(shè)（其中為參數(shù)），由點(diǎn)到直線的距離公式可知

（其中），

因此

，

當(dāng)時(shí)， 最大為，且此時(shí)點(diǎn)與不重合.

無(wú)最小值.

所以的取值范圍是.