Question

（2013•杭州一模）已知甲箱中只放有x個(gè)紅球與y個(gè)白球（x，y≥0且x+y=6），乙箱中只放有2個(gè)紅球、1個(gè)白球與1個(gè)黑球（球除顏色外，無(wú)其它區(qū)別）．若甲箱從中任取2個(gè)球，從乙箱中任取1個(gè)球．
（Ⅰ）記取出的3個(gè)球的顏色全不相同的概率為P，求當(dāng)P取得最大值時(shí)x，y的值；
（Ⅱ）當(dāng)x=2時(shí)，求取出的3個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)ξ的期望E（ξ）．

Answer 1

分析：（I）據(jù)排列組合求出三個(gè)球的顏色各不同的取法，利用古典概型的概率公式求出概率，再利用基本不等式求其最大值即可．
（II）由題意知當(dāng)x=2時(shí)，即甲箱中有2個(gè)紅球與4個(gè)白球，故ξ的取值是0，1，2，3，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和等可能事件的概率公式寫(xiě)出變量的概率，寫(xiě)出分布列和期望．

解答：解：（I）由題意知：
P=

C 1 x C 1 y

C 2 6 C 1 4

=

xy

60

≤

1

60

(

x+y

2

)2=

3

20

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，取等號(hào)，故當(dāng)P取得最大值時(shí)x，y的值都為3．
（II）當(dāng)x=2時(shí)，即甲箱中有2個(gè)紅球與4個(gè)白球，故ξ的取值是0，1，2，3．
則P（ξ=0）=

C 2 4 C 1 2

C 2 6 C 1 4

=

1

5

；P（ξ=1）=

C 1 2 C 1 4 C 1 2 + C 2 4 C 1 2

C 2 6 C 1 4

=

7

15

；
P（ξ=2）=

C 2 2 C 1 2 + C 1 2 C 1 4 C 1 2

C 2 6 C 1 4

=

3

10

；P（ξ=3）=

C 1 2

C 2 6 C 1 4

=

1

30

；
所以ξ的分布列為（必須寫(xiě)出分布列，否則扣1分）

ξ	0	1	2	3
P	1 5	7 15	3 10	1 30

…（11分）
故Eξ=0×

1

5

+1×

7

15

+2×

3

10

+3×

1

30

=

7

6

，
所求取出的3個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)ξ的期望E（ξ）=

7

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望．求事件的概率關(guān)鍵是判斷出事件是獨(dú)立事件的積事件還是互斥事件的和事件，選擇合適的公式求出事件的概率．