Question

已知在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為

x= 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t為參數(shù)）．在極坐標系（與直角坐標取相同的長度單位，且以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸）中，曲線C₂的方程為ρsin²θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲線C₂直角坐標方程；
（Ⅱ）若曲線C₁、C₂交于A、B兩點，定點P（0，-4），求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即可將極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程；
（Ⅱ）聯(lián)立方程組，利用韋達定理即可求得|PA|+|PB|的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵曲線C₂的方程為ρsin²θ=4cosθ，則ρ²sin²θ=4ρcosθ，
即（ρsinθ）²=4ρcosθ，
∴y²=4x，
故曲線C₂直角坐標方程為y²=4x；
（Ⅱ）∵曲線C₁的參數(shù)方程為

x= 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t為參數(shù)），且曲線C₂直角坐標方程為y²=4x，
∴聯(lián)立方程組，則有

1

2

t2-6

2

t+16=0，即t2-12

2

t+32=0，
∴t₁+t₂=12

2

，t₁t₂=32，則t₁＞0，t₂＞0，
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=12

2

，
故|PA|+|PB|的值為12

2

．

點評：本題考查了簡單曲線的極坐標方程，直線的參數(shù)方程，利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即可將極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程．直線與曲線的交點通過聯(lián)立方程組求解即可得到，方程的根與系數(shù)的關系，即韋達定理的應用．屬于中檔題．