Question

已知函數(shù)f（x）=a^x-bx（a＞0，a≠1）．
（1）若函數(shù)y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=（e-1）x，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，設(shè)g（x）=x²-x+m，若存在x₀∈R，使對(duì)任意x∈R不等式f（x）＞g（x₀）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)，然后結(jié)合題意求得a，b的值，則函數(shù)解析式可求；
（2）把存在x₀∈R，使對(duì)任意x∈R不等式f（x）＞g（x₀）成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意x∈R，f（x）_min＞g（x）_min成立，由二次函數(shù)求得g（x）的最小值，利用導(dǎo)數(shù)求得f（x）的最小值，然后列不等式求得m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=a^x-bx，
∴f′（x）=a^xlna-b，f′（1）=alna-b，
由函數(shù)y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=（e-1）x，得

a-b=e-1 alna-b=e-1

，解得

a=e b=1

．
∴f（x）=e^x-x；
（2）f（x）=e^x-x，g（x）=x²-x+m，
若存在x₀∈R，使對(duì)任意x∈R不等式f（x）＞g（x₀）成立，即
對(duì)任意x∈R，f（x）_min＞g（x）_min成立，
g(x)min=

4m-1

4

，
f′（x）=e^x-1，當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）的極小值也是最小值為f（0）=1．
由

4m-1

4

＜1，解得：m＜

5

4

．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，

5

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．