Question

17．定義在$[{\frac{1}{π}，π}]$上的函數(shù)f（x），滿足$f（x）=f（\frac{1}{x}）$，且當$x∈[{\frac{1}{π}，1}]$時，f（x）=lnx，若函數(shù)g（x）=f（x）-ax在$[{\frac{1}{π}，π}]$上有零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． $[{-\frac{lnπ}{π}，0}]$
• B． [-πl(wèi)nπ，0]
• C． $[{-\frac{1}{e}，\frac{lnπ}{π}}]$
• D． $[{-\frac{e}{2}，-\frac{1}{π}}]$

Answer 1

分析 由題意，找出x∈（1，π]的解析式，畫出f（x）定義在$[{\frac{1}{π}，π}]$上的圖形，利用直線y=ax與f（x）的交點個數(shù)得到a的范圍．

解答 解：因為當$x∈[{\frac{1}{π}，1}]$時，f（x）=lnx，
所以x∈（1，π]時，$\frac{1}{x}∈[\frac{1}{π}，1]$，所以f（$\frac{1}{x}$）=-lnx，此時$f（x）=f（\frac{1}{x}）$，故f（x）=-lnx，x∈（1，π]．
所以f（x）在$[{\frac{1}{π}，π}]$上的圖象如圖，要使函數(shù)g（x）=f（x）-ax在$[{\frac{1}{π}，π}]$上有零點，只要直線y=ax與f（x）的圖象有交點，
由圖象可得，k_OA≤a≤0，其中${k}_{OA}=\frac{ln\frac{1}{π}}{\frac{1}{π}}=-πl(wèi)nπ$，
所以使函數(shù)g（x）=f（x）-ax在$[{\frac{1}{π}，π}]$上有零點，則實數(shù)a的取值范圍是[-πl(wèi)nπ，0]．
故選：B．

點評 本題考查通過將定義域轉(zhuǎn)變到已知函數(shù)的定義域上求函數(shù)解析式的方法，數(shù)形結(jié)合解題的方法，關(guān)鍵是將零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點個數(shù)解答．