Question

7．如圖，在多面體ABCDE中，平面ABE⊥平面ABCD，△ABE是等邊三角形，四邊形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB⊥BC，AB=AD=$\frac{1}{2}$BC=2，M是EC的中點(diǎn)．
（1）求證：DM∥平面ABE；
（2）求三棱錐M-BDE的體積．

Answer 1

分析 （1）方法一：取BE的中點(diǎn)O，連接OA、OM，說(shuō)明OM=$\frac{1}{2}$BC，利用AD=$\frac{1}{2}$BC，推出OM=AD，證明DM∥AO，然后證明DM∥平面ABE；
方法二：取BC的中點(diǎn)N，連接DN、MN，證明MN∥BE，然后證明MN∥平面ABE，DN∥平面ABE，證明平面DMN∥平面ABE，即可證明DM∥平面ABE．
（II）方法一：接（1）的方法一，證明AB⊥BC，推出BC⊥底面ABE，得到BC⊥AO，結(jié)合BE⊥AO，證明AO⊥平面BCE，推出DM⊥平面BCE，然后求解幾何體的體積．
方法二：取AB的中點(diǎn)G，連接EG，說(shuō)明EG⊥AB，說(shuō)明EG為四棱錐P-ABCD的高，計(jì)算三棱錐M-BDE的體積即計(jì)算三棱錐E-BDC體積減去三棱錐M-BDC的體積，求解即可．

解答 （滿分12分）
證明：（I）方法一：取BE的中點(diǎn)O，
連接OA、OM，…（1分）
因?yàn)镺、M分別為線段BE、CE的中點(diǎn)，
所以O(shè)M=$\frac{1}{2}$BC  …（2分）
又因?yàn)锳D=$\frac{1}{2}$BC，所以O(shè)M=AD …（3分）
所以四邊形OMDA為平行四邊形，
所以DM∥AO，…（4分）
又因?yàn)锳O?面ABE，MD?面ABE，所以DM∥平面ABE； …（6分）
方法二：取BC的中點(diǎn)N，連接DN、MN，…（1分）
因?yàn)镸、N分別為線段CE、BC的中點(diǎn)，所以MN∥BE…（2分）
又因?yàn)锽M?面ABE，MN?面ABE，所以MN∥平面ABE，…（3分）
同理可證DN∥平面ABE，…（4分）
MN∩DN=N，所以平面DMN∥平面ABE，…（5分）
又因?yàn)镈M?面DMN，所以DM∥平面ABE…（6分）
（II）方法一：接（1）的方法一
因?yàn)槠矫鍭BE∩底面ABCD=AB
又因?yàn)槠矫鍭BE⊥底面ABCD，AB⊥BC
且BC?平面ABCD，
所以BC⊥底面ABE，…（7分）
OA?平面ABE，所以BC⊥AO…（8分）
又BE⊥AO，BC∩BE=B，
所以AO⊥平面BCE…（9分）
由（1）知DM=AO=$\sqrt{3}$，DM∥AO，
所以DM⊥平面BCE …（10分）
${V}_{M-BDE}={V}_{D-MBE}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$…（12分）
方法二：取AB的中點(diǎn)G，連接EG，
因?yàn)椤鰽BE是等邊三角形，所以EG⊥AB…（7分）
又因?yàn)槠矫鍭BE∩底面ABCD=AB
又因?yàn)槠矫鍭BE⊥底面ABCD，且EG?平面PAB，
所以EG⊥底面ABCD，即EG為四棱錐P-ABCD的高…（8分）
因?yàn)镸是EC的中點(diǎn)，所以M-BCD的體積是E-BCD體積的一半，
所以計(jì)算三棱錐M-BDE的體積即計(jì)算三棱錐E-BDC體積減去三棱錐M-BDC的體積…（10分）
所以${V}_{M-BDE}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×4×\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
即三棱錐M-BDE的體積為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行以及垂直的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．