Question

2．已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2．
（1）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)不相等的正零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在x∈[-5，5]上的最小值為-3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組求解即可．
（2）利用二次函數(shù)的閉區(qū)間上的最值，列出不等式組，求解即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²+2ax+2．恒過（0，2），函數(shù)f（x）有兩個(gè)不相等的正零點(diǎn)，
可得$\left\{\begin{array}{l}△＞0\\-a＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{4{a}^{2}-8＞0}\\{-a＞0}\end{array}\right.$，所以a＜-$\sqrt{2}$．
（2）函數(shù)f（x）=x²+2ax+2，的對稱軸為：x=-a，-a＜-5時(shí)，f（-5）是函數(shù)的最小值：27-10a；
-a∈[-5，5]時(shí)，f（-a）是最小值：2-a²；當(dāng)-a＞5時(shí)，f（5）是函數(shù)的最小值：27+10a，
因?yàn)樵趚∈[-5，5]上的最小值為-3，
$f{\;}_{min}（x）=\left\{\begin{array}{l}27-10a（{a＞5}）\\ 2-{a^2}（{-5≤a≤5}）\\ 27+10a（{a＜-5}）\end{array}\right.$，
當(dāng)a＞5時(shí)，27-10a=-3，解得a=3舍去；
當(dāng)a＜-5時(shí)，27+10a=-3，解得a=-3舍去．
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}2-{a^2}=-3\\-5≤a≤5\end{array}\right.$時(shí)有解，$a=±\sqrt{5}$．
所求a為：$±\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．