Question

【題目】橢圓 （a＞b＞0）與x軸，y軸的正半輛分別交于A，B兩點，原點O到直線AB的距離為 ，該橢圓的離心率為 ． （Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點 的直線l與橢圓交于兩個不同的點M，N，求線段MN的垂直平分線在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設直線AB的方程為bx+ay﹣ab=0

∵原點O到直線AB的距離為 ，∴ ①

∵橢圓的離心率為 ，∴ ②

由①②可得：a=2，b=1

∴橢圓的方程為 ；

（Ⅱ）當直線斜率不存在時，線段MN的垂直平分線的縱截距為0

當直線斜率k存在時，設直線l的方程為 ，代入 ，消去y得（9+36k2）x2+120kx+64=0

∵△=14400k2﹣256（9+36k2）＞0，∴

設M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中點為Q（x0，y0）

∴ = ，

∴Q

∴線段MN的垂直平分線方程為

令x=0，則y= ，

由 ，可得﹣

∴線段MN的垂直平分線在y軸上截距的取值范圍為

【解析】（Ⅰ）設直線AB的方程為bx+ay﹣ab=0，利用原點O到直線AB的距離為 ，橢圓的離心率為 ，建立方程可求a、b的值，從而可得橢圓的方程；（Ⅱ）當直線斜率不存在時，線段MN的垂直平分線的縱截距為0；當直線斜率k存在時，設直線l的方程為 ，代入 ，消去y得（9+36k2）x2+120kx+64=0，進而可求線段MN的垂直平分線方程，由此即可求得線段MN的垂直平分線在y軸上截距的取值范圍．
【考點精析】掌握橢圓的標準方程是解答本題的根本，需要知道橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．