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16.已知函數(shù)f(x)=sin(\frac{π}{2}-x)•(\sqrt{3}sinx-cosx).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若f(θ-\frac{π}{6})=\frac{1}{10},求sinθ的值.

分析 (1)利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡,通過正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解即可.
(2)利用三角函數(shù)值,列出方程求解即可.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=sin(\frac{π}{2}-x)•(\sqrt{3}sinx-cosx)
=\sqrt{3}cosxsinx-cos2x
=\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1+cos2x}{2}
=sin(2x-\frac{π}{6})-\frac{1}{2}
由2kπ+\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2},k∈Z,
可得kπ+\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{5π}{6},k∈Z.
函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間:[kπ+\frac{π}{3},kπ+\frac{5π}{6}].k∈Z.
(2)函數(shù)f(x)=sin(2x-\frac{π}{6})-\frac{1}{2}
f(θ-\frac{π}{6})=\frac{1}{10},可得sin(2θ-\frac{π}{2})-\frac{1}{2}=\frac{1}{10}
∴sin(2θ-\frac{π}{2})=-cos2θ=\frac{3}{5}
∴1-2sin2θ=-\frac{3}{5}
可得sin2θ=\frac{4}{5},
∴sinθ=±\frac{2\sqrt{5}}{5}

點評 本題考查二倍角公式的應用,兩角和與差的三角函數(shù),考查計算能力,轉(zhuǎn)化思想的應用.

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