Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=-

x2

4

，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）已知x₁，x₂∈R，求證：

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]≥f（

x1+x2

2

）；
（2）是否存在與函數(shù)f（x），g（x）的圖象均相切的直線l？若存在，則求出所有這樣的直線l的方程；若不存在，則說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用作差法即可證明；
（2）設(shè)直線l與函數(shù)f（x）的圖象相切，切點(diǎn)為（t，e^t），則l的方程可表示為y=e^tx+e^t（1-t），直線l與函數(shù)g（x）的圖象相切的充要條件是關(guān)于x的方程etx+et(1-t)=-

x2

4

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
從而有△=0，構(gòu)造函數(shù)化為函數(shù)零點(diǎn)存在問題可求；

解答： （1）證明：∵

1

2

[f(x1)+f(x2)]-f(

x1+x2

2

)
=

1

2

(ex1+ex2)-e

x1+x2

2

=

1

2

(ex1+ex2-2e

x1+x2

2

)
=

1

2

(e

x1

2

-e

x2

2

)²≥0，
∴

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥f(

x1+x2

2

)．
（2）解：設(shè)直線l與函數(shù)f（x）的圖象相切，切點(diǎn)為（t，e^t），
則直線l的方程為y-e^t=e^t（x-t），即y=e^tx+e^t（1-t），
直線l與函數(shù)g（x）的圖象相切的充要條件是關(guān)于x的方程etx+et(1-t)=-

x2

4

，即

x2

4

+etx+et(1-t)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=e^2t-e^t（1-t）=0，e^t+t-1=0，
設(shè)φ（t）=e^t+t-1，則φ（0）=0，且φ′（t）=e^t+1＞0，
φ（t）在R上遞增，φ（t）只有一個(gè)零點(diǎn)t=0．
∴存在唯一一條直線l與函函數(shù)f（x）與g（x）的圖象均相切，其方程為y=x+1．

點(diǎn)評(píng)：該題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、不等式的證明等知識(shí)，考查學(xué)生的推理論證能力及運(yùn)算求解能力．