Question

14．若關(guān)于x的方程x+b=3-$\sqrt{4x-{x^2}}$只有一個(gè)解，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（-1，3]∪{1-2$\sqrt{2}$}．

Answer 1

分析 由題意可得半圓（x-2）²+y²=4（y≥0）與直線y=-x+3-b只有1個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求得實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答 解：關(guān)于x的方程x+b=3-$\sqrt{4x-{x^2}}$只有一個(gè)解，
則函數(shù)y=$\sqrt{4x{-x}^{2}}$ （0≤x≤4），
即（x-2）²+y²=4（y≥0），表示以C（2，0）為圓心、
半徑等于2的半圓，
且此半圓與直線y=-x+3-b只有1個(gè)交點(diǎn)，如圖：
當(dāng)直線y=-x+3-b經(jīng)過點(diǎn)A、B時(shí)，3-b=4，b=-1；
當(dāng)直線y=-x+3-b經(jīng)過原點(diǎn)O時(shí)，b=3；
當(dāng)直線y=-x+3-b與半圓相切時(shí)，
由圓心C到直線y=-x+3-b的距離等于半徑可得
$\frac{|2+0+b-3|}{\sqrt{2}}$=2，求得b=1-2$\sqrt{2}$，或b=1+2$\sqrt{2}$（不滿足3-b＞4，故舍去），
結(jié)合圖象可得，-1＜b≤3或$b=1-2\sqrt{2}$；     
故答案為：（-1，3]∪{1-2$\sqrt{2}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷，直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．