Question

設(shè)f（x）=

lnx

x-1

+1，當(dāng)x∈（1，+∞）時，求f（x）的值域．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求導(dǎo)，再構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)，判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，再根據(jù)洛必達法則求出極限，繼而得到函數(shù)的最值，問題得以解決

解答： 解：∵f（x）=

lnx

x-1

+1，
∴f′（x）=

1- 1 x -lnx

(x-1)2

，
令g（x）=1-

1

x

-lnx，
∴g′（x）=

1

x2

-

1

x

=

1-x

x2

＜0在（1，+∞）上恒成立，
∴g（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，
∴g（x）＜g（1）=1-1=0，
∴f′（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，
∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，
根據(jù)洛必達法則，
∴

lim

x→1

lnx

x-1

=

lim

x→1

1

x

=1，

lim

x→∞

lnx

x-1

=

lim

x→∞

1

x

=0，
∴f（x）的最大值為1+1=2，最小值為0+1=1，
故函數(shù)的值域為（1，2）

點評：本題的考點是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，以及洛必達法則求函數(shù)的極限，屬于中檔題