【題目】已知橢圓C的方程為，離心率為，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過動點的直線交軸的負半軸于點，交C于點(在第一象限)，且是線段的中點，過點作x軸的垂線交C于另一點，延長線交C于點.

(i)設直線，的斜率分別為，，證明：；

(ii)求直線的斜率的最小值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）(i)見解析；(ii)

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)拋物線焦點坐標求得，再利用離心率和的關系求得，進而得到橢圓方程；（Ⅱ）(i)利用為線段中點表示出點坐標，再根據(jù)橢圓對稱性得到點坐標；利用兩點連線斜率公式表示出和，從而結(jié)論可證；(ii)將直線方程與橢圓方成立聯(lián)立，利用韋達定理可用和表示出，利用同理可求得，進而利用兩點連線斜率公式寫出所求斜率，結(jié)合基本不等式求出最小值.

（Ⅰ）拋物線的焦點是

且 ，

橢圓的方程

（Ⅱ）(i)設，那么

是線段的中點 ，

，

(ii)根據(jù)題意得：直線的斜率一定存在且

設直線為，則直線為

聯(lián)立，整理得：

利用韋達定理可知：

同理可得

當且僅當即為時，等號成立

直線斜率的最小值為

練習冊系列答案
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設橢圓的左、右焦點分別為，過且斜率為的直線交橢圓于兩點，已知橢圓的短軸長為，________.

（1）求橢圓的方程；

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【題目】某工廠生產(chǎn)并銷售某高科技產(chǎn)品，已知每年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本是800萬元，生產(chǎn)成本e（單位；萬元）與生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)x（單位：萬件）的平方成正比；該產(chǎn)品單價p（單位：元）與生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)x滿足（b為常數(shù)），已知當該產(chǎn)品的單價為300元時，生產(chǎn)成本是1800萬元，當單價為320元時，生產(chǎn)成本是200萬元，且工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品都可以銷售完．

（1）每年生產(chǎn)該產(chǎn)品多少萬件時，平均成本最低，最低為多少?

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【題目】已知橢圓的焦點坐標為，，過垂直于長軸的直線交橢圓于、兩點，且.

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)過的直線與橢圓交于不同的兩點、，則的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由.

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【題目】已數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且滿足，又.

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