Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù) 的圖象在點 處的切線的傾斜角為 ，對于任意的,函數(shù)在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù)， 求的取值范圍；

（3）求證：.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為，當(dāng)時，單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為，當(dāng)時，不是單調(diào)函數(shù)；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）由，然后對、 和 分三種情況進(jìn)行討論；（2）由題知可得

一定有兩個不等的實根,不妨設(shè)在上遞減， 在上遞增；（3）由（1）知當(dāng)時，在上遞增

．

試題解析：（1）由 ，①當(dāng)時，顯然 時，；當(dāng)時， ，所以此時的單調(diào)增區(qū)間為減區(qū)間為； ②同理當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為 ， 減區(qū)間為； ③當(dāng) 時， 不是單調(diào)函數(shù)．

（2）由題知，得，所以，所以.因為,所以一定有兩個不等的實根,又因為.不妨設(shè) , 由已知時時，即在上遞減， 在上遞增， 依題意知，于是只需得.

（3）由（1）知當(dāng)時， 在上遞增， 所以 .在上式中分別令得

，以上不等式相乘得，兩邊同除以得

，即證．