Question

17．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的一個焦點與拋物線y²=4x的焦點相同，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的左、右焦點．M為橢圓上任意一點，△MF₁F₂面積的最大值為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l：y=kx+m（m≠0）交橢圓C于A，B兩點．
①若x軸上任意一點到直線AF₂與BF₂距離相等，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標；
若直線l的斜率是直線OA，OB斜率的等比中項，求△AOB面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由y²=4x焦點為（1，0），則c=1，當點M為橢圓的短軸端點時，△MF₁F₂面積最大，此時$S=\frac{1}{2}×2c×b=1$，a²=b²+c²=2，即可求得橢圓的標準方程；
（2）①將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理及直線的斜率公式求得m=-2k，直線l的方程為y=k（x-2），因此直線l恒過定點，該定點坐標為（2，0）．②直線l的斜率是直線OA，OB斜率的等比中項，${k_{OA}}•{k_{OB}}={k^2}$，整理可知：$-\frac{{4{k^2}{m^2}}}{{1+2{k^2}}}+{m^2}=0$，又m≠0，由弦長公式求得丨AB丨，點O到直線AB的距離為d，則三角形的面積公式及基本不等式的性質(zhì)，即可求得求△AOB面積的取值范圍．

解答 解：（1）由拋物線的方程y²=4x得其焦點為（1，0），則橢圓中c=1，
當點M為橢圓的短軸端點時，△MF₁F₂面積最大，此時$S=\frac{1}{2}×2c×b=1$，
∴b=1，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的左、右焦點，M為橢圓上任意一點，△MF₁F₂面積的最大值為1，
a²=b²+c²=2，
∴橢圓的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
由△=16k²m²-4（2k²+1）（2m²-2）=8（2k²-m²+1）＞0，得1+2k²＞m²（*）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$，
①${k_1}=\frac{y_1}{{{x_1}-1}}=\frac{{k{x_1}+m}}{{{x_1}-1}}，{k_2}=\frac{y_2}{{{x_2}-1}}=\frac{{k{x_2}+m}}{{{x_2}-1}}$，由k₁+k₂=0，得$\frac{{k{x_1}+m}}{{{x_1}-1}}+\frac{{k{x_2}+m}}{{{x_2}-1}}=0$，
所以2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0，即$2k•\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}+（{m-k}）（{-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}}）-2m=0$，得m=-2k，
∴直線l的方程為y=k（x-2），
因此直線l恒過定點，該定點坐標為（2，0）．
②∵直線l的斜率是直線OA，OB斜率的等比中項，
∴${k_{OA}}•{k_{OB}}={k^2}$，即$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}={k^2}$，得$\frac{{（{k{x_1}+m}）（{k{x_2}+m}）}}{{{x_1}{x_2}}}={k^2}$，得$km（{{x_1}+{x_2}}）+{m^2}=0$，
∴$-\frac{{4{k^2}{m^2}}}{{1+2{k^2}}}+{m^2}=0$，又m≠0，
∴${k^2}=\frac{1}{2}$，代入（*），得0＜m²＜2．
$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{3（{2-{m^2}}）}$．
設點O到直線AB的距離為d，則$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{{\sqrt{2}|m|}}{{\sqrt{3}}}$，
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{AB}|•d=\frac{1}{2}\sqrt{3{{（{2-m}）}^2}}\frac{{\sqrt{2}|m|}}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\sqrt{{m^2}（{2-{m^2}}）}≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}\sqrt{{{（{\frac{{{m^2}+2-{m^2}}}{2}}）}^2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
當且僅當m²=2-m²，即m²=1∈（0，2）時，△AOB面積取最大值$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
故△AOB面積的取值范圍為$（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$．

點評 本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關系，考查直線的斜率公式，韋達定理，點到直線的距離公式及基本不等式的性質(zhì)的應用，考查計算能力，屬于難題．