Question

已知函數(shù)f（x）=x-ln（x+a）（a＞0）的最小值為0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若對(duì)任意x∈[0，+∞）不等式f（x）≤x-

mx

x+1

恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）f′（x）=1-

1

x+a

，（a＞0），分別解出令f′（x）＞0，令f′（x）＜0，即可得出函數(shù)f（x）單調(diào)性質(zhì)；進(jìn)而得出極小值點(diǎn)．．
（Ⅱ）若對(duì)任意x∈[0，+∞）不等式f（x）≤x-

mx

x+1

恒成立?ln（x+1）≥

mx

x+1

在x∈[0，+∞）上恒成立．設(shè)g（x）=ln（x+1）-

mx

x+1

（x≥0）．則g′（x）=

1

x+1

-

m

(1+x)2

=

x+1-m

(1+x)2

．對(duì)m分類討論：當(dāng)m≤1時(shí)，當(dāng)m＞1時(shí)，分別研究函數(shù)f（x）d的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=1-

1

x+a

，（a＞0），
令f′（x）＞0，解得x＞1-a，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
令f′（x）＜0，解得-a＜x＜1-a，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴x=1-a是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)，即為最小值點(diǎn)，
∴f（1-a）=1-a+ln1=0，解得a=1．
∴f（x）=x-ln（1+x）（x＞-1）．

（Ⅱ）若對(duì)任意x∈[0，+∞）不等式f（x）≤x-

mx

x+1

恒成立，即ln（x+1）≥

mx

x+1

在x∈[0，+∞）上恒成立．
設(shè)g（x）=ln（x+1）-

mx

x+1

（x≥0）．
則g′（x）=

1

x+1

-

m

(1+x)2

=

x+1-m

(1+x)2

．
當(dāng)m≤1時(shí)，g′（x）≥0，
∴g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，又g（0）=0，
∴g（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，即m≤1時(shí)，ln（x+1）≥

mx

x+1

在x∈[0，+∞）上恒成立．
當(dāng)m＞1時(shí)，對(duì)x∈（0，m-1），g′（x）＜0，
∴g（x）在x∈（0，m-1）上單調(diào)遞減，
∴g（m-1）＜g（0）．即當(dāng)m＞1時(shí)，存在x＞0使得g（x）＜0，
可知：ln（x+1）≥

mx

x+1

在x∈[0，+∞）上不恒成立．
綜上可得：實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．