Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{k}$-lnx（k＞0）
（1）求f（x）的最小值；
（2）若k=2，判斷方程f（x）-1=0在區(qū)間（$\frac{1}{e}$，1）內(nèi)實數(shù)解的個數(shù)；
（3）證明：對任意給定的M＞0，總存在正數(shù)x₀，使得當(dāng)x＞x₀時，恒有$\frac{x}{2}$-M＞lnx．

Answer 1

分析 （1）先求出導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的最小值，
（2）根據(jù)函數(shù)的零點定理，即可判斷方程f（x）-1=0在區(qū)間（$\frac{1}{e}$，1）內(nèi)實數(shù)解的個數(shù)，
（3）根據(jù)（1）的結(jié)論，得到$\frac{x}{3}-1+ln3≥lnx$①，$\frac{x}{2}-M＞\frac{x}{3}-1+ln3$②，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{1}{k}-\frac{1}{x}=\frac{x-k}{kx}$
當(dāng)0＜x＜k時，f'（x）＜0，當(dāng)x＞k時，f'（x）＞0，
所以f（x）在（0，k）單調(diào)遞減，在（k，+∞）單調(diào)遞增，
從而f（x）_min=f（k）=1-lnk，
（2）k=2時，$f（x）-1=\frac{x}{2}-lnx-1$
因為$f（\frac{1}{e}）-1=\frac{1}{2e}＞0$，$f（1）-1=-\frac{1}{2}＜0$，且f（x）的圖象是連續(xù)的，
所以f（x）-1=0在區(qū)間$（\frac{1}{e}，1）$內(nèi)有實數(shù)解；
又當(dāng)$x∈（\frac{1}{e}，1）$時，$f'（x）=\frac{x-2}{2x}＜0$，所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
從而f（x）-1=0在區(qū)間$（{\frac{1}{e}，1}）$內(nèi)至多有一個實數(shù)解，
故f（x）-1=0在區(qū)間$（{\frac{1}{e}，1}）$內(nèi)有唯一的有實數(shù)解．
（3）證明：由（1）知：${（\frac{x}{3}-lnx）_{min}}=1-ln3$
所以x＞0時，$\frac{x}{3}-1+ln3≥lnx$①
由$\frac{x}{2}-M＞\frac{x}{3}-1+ln3$得：x＞6（M-1+ln3）
所以x＞6（M-1+ln3）＞0時，$\frac{x}{2}-M＞\frac{x}{3}-1+ln3$②
由①②知：取x₀=6（M-1+ln3）＞0，則當(dāng)x＞x₀時，
有$\frac{x}{2}-M＞\frac{x}{3}-1+ln3≥lnx$，
即$\frac{x}{2}-M＞lnx$成立．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題，也考查運算求解能力以及邏輯推理能力，考查了函數(shù)與方程思想的應(yīng)用問題，是難題目．