數(shù)列{an}滿足:對任意的正整數(shù)m,n;s,t,若m+n=s+t,則
(1+am)(1+an)
am+an
=
(1+as)(1+at)
as+at
,且a1=3,a2=-
1
3

(1)求證:
(1-am)(1-an)
am+an
=
(1-as)(1-at)
as+at
;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)記cn=a2n-a2n+1(n∈N*),求證:c1+c2+…+cn
4
3
分析:(1)由于
(1-am)(1-an)
am+an
=
(1+am)(1+an)
am+an
-2
,所以條件可化為
(1-am)(1-an)
am+an
=
(1-as)(1-at)
as+at
.故可得證.
(2)將(1)式結(jié)論與條件相除得
1-am
1+am
1-an
1+an
=
1-as
1+as
1-at
1+at
,令bn=
1-an
1+an
,則:bmbn=bsbt由于1+n=2+(n-1),從而有b1bn=b2bn-1,可證數(shù)列為等比數(shù)列,從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)先證明cn
20
16n
,利用等比數(shù)列的求和公式求和,再進(jìn)行放縮即可.
解答:證明:(1)由
(1+am)(1+an)
am+an
=
(1+as)(1+at)
as+at
①,
(1+am)(1+an)
am+an
-2=
(1+as)(1+at)
as+at
-2
,
(1-am)(1-an)
am+an
=
(1-as)(1-at)
as+at
②…(4分)
(2)由②÷①得:
1-am
1+am
1-an
1+an
=
1-as
1+as
1-at
1+at
,
bn=
1-an
1+an
,則:bmbn=bsbt由于1+n=2+(n-1),所以:b1bn=b2bn-1,所以:bn=
b2
b1
bn-1
,即:bn=-4bn-1(n≥2),所以:bn=b1(-4)n-1=-
1
2
(-4)n-1
,所以an=
2+(-4)n-1
2-(-4)n-1
(n∈N*)…(8分)
(3)cn=a2n-a2n+1=
20•16n
(16n+8)(16n-2)
=
20•16n
(16n)2+6•16n-16
20
16n

所以c1+c2+…+cn
n
k=1
20
16k
=
20(1-
1
16n
)
15
20
15
=
4
3
…(12分)
點(diǎn)評:本題的關(guān)鍵是挖掘結(jié)論與條件之間的聯(lián)系,有一定的技巧性,綜合性強(qiáng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若數(shù)列{an}滿足性質(zhì)“對任意正整數(shù)n,
an+2+an2
an+1
都成立”,且a1=1,a20=58,則a10的最小值為
28
28

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•江西模擬)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足:①對任意n∈N*,都有an•an+2=an+12;  ②lga1+lga2+…+lga9=27,則lga11+lga19-lga152的值為( 。

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(2008•深圳二模)已知首項(xiàng)為1的數(shù)列{an}滿足:對任意正整數(shù)n,都有:a12
a1
-1
+a22
a2
-1
+a32
a3
-1
+…+an2
an
-1
=(n2-2n+3)•2n+c
,其中c是常數(shù).
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)c的值;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列{
an
(-
1
2
)
an
-1
}
的前n項(xiàng)和為Sn,求證:S2n-1>S2m,其中m,n∈N*

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2008•南匯區(qū)二模)已知函數(shù)f(x),并定義數(shù)列{an}如下:a1∈(0,1)、an+1=f(an)(n∈N*).如果數(shù)列{an}滿足:對任意n∈N*,an+1>an則函數(shù)f(x)的圖象可能是( 。

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