分析 (1)由已知曲線方程求出A,B的坐標(biāo),設(shè)P(x,y),結(jié)合kAPkBP=$-\frac{1}{2}$列式求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)設(shè)直線MN的方程為y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立直線方程與橢圓方程,由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合直線OM,ON的斜率之積為$-\frac{1}{2}$可得m與k的關(guān)系,進(jìn)一步求出$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的范圍得答案.
解答 解:(1)在方程x2+y=8中令y=0得:x=±2$\sqrt{2}$,
∴A(-2$\sqrt{2}$,0),B(2$\sqrt{2}$,0).
設(shè)P(x,y),則kAPkBP=$\frac{y}{x+2\sqrt{2}}•\frac{y}{x-2\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}$,整理得:$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$,
動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$;
(2)設(shè)直線MN的方程為y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,
∴x1+x2=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$,
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2•$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$+km•$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$+m2=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$,
∵kOMkON=-$\frac{1}{2}$,∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}=-\frac{1}{2}$,即$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}=-\frac{1}{2}\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$,
得m2=4k2+2,
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x1x2+y1y2=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}+\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}=2-\frac{4}{1+2{k}^{2}}$,
∴-2≤$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$<2,
故$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的最小值為-2.
點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,訓(xùn)練了平面向量數(shù)量積的求法,是中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 130 | B. | 170 | C. | 210 | D. | 260 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 0 | B. | 1 | C. | -1 | D. | 1或-1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 在定義域內(nèi)是減函數(shù) | B. | 圖象過(guò)定點(diǎn)(1,1) | ||
C. | 是奇函數(shù) | D. | 其定義域是R |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 直線OB∥平面ACD | |
B. | 球面經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)的球的直徑是$\sqrt{13}$ | |
C. | 直線AD與OB所成角是45° | |
D. | 二面角A-OC-D等于30° |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 3x+2y=0 | B. | x+y+1=0 | ||
C. | x+y+1=0或3x+2y=0 | D. | x+y-1=0或3x-2y=0 |
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