【題目】正整數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為,前項(xiàng)積,若,則稱(chēng)數(shù)列為“數(shù)列”.
(1)判斷下列數(shù)列是否是數(shù)列,并說(shuō)明理由;①2,2,4,8;②8,24,40,56
(2)若數(shù)列是數(shù)列,且.求和;
(3)是否存在等差數(shù)列是數(shù)列?請(qǐng)闡述理由.
【答案】(1) ①是;②不是;理由見(jiàn)解析;(2)或;(3)存在.
【解析】
(1)根據(jù)新定義的數(shù)列,需要滿(mǎn)足,所以分別計(jì)算兩個(gè)數(shù)列的,,相比觀察得答案;
(2)由數(shù)列的定義可知,分別表示,由正整數(shù)數(shù)列可分別求得,即得,從而得答案;
(3) 假設(shè)存在這樣的等差數(shù)列是數(shù)列,且此數(shù)列是特殊的常數(shù)列,則至少三項(xiàng),分別表示所以,所以a是2和3的公倍數(shù),令,顯然該等差數(shù)列是Z數(shù)列,所以存在;此后類(lèi)比推理,可到n項(xiàng).
(1) ①由題可知,此時(shí)有
1 | 2 | 3 | 4 | |
2 | ||||
2 | ||||
1 | 1 | 2 | 8 |
該數(shù)列滿(mǎn)足,所以是數(shù)列;
②同理可得:
1 | 2 | 3 | 4 | |
8 | ||||
8 | ||||
1 | 6 | 3360 |
該數(shù)列中,所以不是數(shù)列.
(2) 因?yàn)閿?shù)列是數(shù)列,
那么,則
又因?yàn)閿?shù)列是正整數(shù)數(shù)列,
若,則,
所以,則或
當(dāng)時(shí),;同理當(dāng)時(shí),
故或
(3) )假設(shè):存在這樣的等差數(shù)列是數(shù)列,且此數(shù)列是特殊的常數(shù)列,則至少三項(xiàng)
所以,所以a是2和3的公倍數(shù)
令,顯然該等差數(shù)列是Z數(shù)列,所以存在;
同理,如果是四項(xiàng),則需滿(mǎn)足每項(xiàng)是2,3,4的公倍數(shù),如12,12,12,12
如此類(lèi)推的有限等差數(shù)列,可以有無(wú)窮多個(gè),且當(dāng)為n項(xiàng)時(shí),則各項(xiàng)為的公倍數(shù)
故存在等差數(shù)列是數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,下頂點(diǎn)為,為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)到直線的距離為,為等腰直角三角形.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線與橢圓交于,兩點(diǎn),若直線與直線的斜率之和為,證明:直線恒過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,平面平面,三角形為等邊三角形, ,且,是的中點(diǎn),是的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求證:平面平面;
(3)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn),斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn),且.
(1)求該拋物線的方程;
(2) 為坐標(biāo)原點(diǎn),為拋物線上一點(diǎn),若,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[選修4―4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為.
(1)若a=1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為,求a.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某屆奧運(yùn)會(huì)上,中國(guó)隊(duì)以26金18銀26銅的成績(jī)列金牌榜第三獎(jiǎng)牌榜第二.某校體育愛(ài)好者在高三年級(jí)一班至六班進(jìn)行了“本屆奧運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)表現(xiàn)”的滿(mǎn)意度調(diào)查(結(jié)果只有“滿(mǎn)意”和“不滿(mǎn)意”兩種),從被調(diào)查的學(xué)生中隨機(jī)抽取了60人,具體的調(diào)查結(jié)果如下表:
班號(hào) | 一班 | 二班 | 三班 | 四班 | 五班 | 六班 |
頻數(shù) | 6 | 10 | 13 | 11 | 9 | 11 |
滿(mǎn)意人數(shù) | 5 | 9 | 10 | 6 | 7 | 7 |
(1)在高三年級(jí)全體學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生,由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)估計(jì)該生持滿(mǎn)意態(tài)度的概率;
(2)若從一班和二班的調(diào)查對(duì)象中隨機(jī)選取4人進(jìn)行追蹤調(diào)查,記選中的4人中對(duì)“本屆奧運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)表現(xiàn)”不滿(mǎn)意的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講
在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系, 已知曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)寫(xiě)出曲線和直線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線過(guò)點(diǎn)與曲線交于不同兩點(diǎn),的中點(diǎn)為,與的交點(diǎn)為,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)和,圓是以為圓心,半徑為的圓,點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn),線段的垂直平分線和半徑所在的直線交于點(diǎn).
(1)當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)已知,是曲線上的兩點(diǎn),若曲線上存在點(diǎn),滿(mǎn)足(為坐標(biāo)原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】足球運(yùn)動(dòng)的真諦不僅在于競(jìng)技,更在于增強(qiáng)人民體質(zhì),培養(yǎng)人們愛(ài)國(guó)主義、集體主義、頑強(qiáng)拼搏的精神.足球是人類(lèi)交流的另類(lèi)“語(yǔ)言”,而其他競(jìng)技方式,無(wú)論從深度到廣度,從速度到力度,都難以與足球比肩,就交流與表達(dá)而言,足球是人類(lèi)最能展露自己天性的運(yùn)動(dòng).
(1)已知某國(guó)每年注冊(cè)足球運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)(萬(wàn)人)與該國(guó)年度國(guó)際足聯(lián)排名線性相關(guān),統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:
求變量與的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)該國(guó)年度國(guó)際足聯(lián)排名為第時(shí)注冊(cè)足球運(yùn)動(dòng)員的人數(shù);(參考公式:)
(參考數(shù)據(jù):;)
(2)從該國(guó)中學(xué)生中選出名男生進(jìn)行顛球挑戰(zhàn),若能一次性連續(xù)顛球超過(guò)個(gè)就可獲得一個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)足球,每人只能挑戰(zhàn)一次.已知這名男生每人能夠一次性連續(xù)顛球超過(guò)個(gè)的概率均為,且相互獨(dú)立.求這名男生獲得獎(jiǎng)勵(lì)足球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望及獲得獎(jiǎng)勵(lì)足球超過(guò)個(gè)的概率(精確到).(參考數(shù)據(jù):)
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