Question

已知函數(shù)f（x）=2sinx•cosx+2mcos²x．
（1）當m=

3

時，求函數(shù)f（x）的周期，在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域；
（2）若m＜0，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最小值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,三角函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：解：（1）當m=

3

時，利用三角函數(shù)恒等式，化簡f（x），求出周期T以及f（x）的值域；
（2）化簡f（x），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），利用f′（x）=0，求出x的值，從而求出f（x）的最小值．

解答： 解：（1）∵m=

3

，
∴f（x）=2sinxcosx+2

3

cos²x
=sin2x+

3

+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

）+

3

，
∴周期T=

2π

2

=π；
又∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[-

3

2

，1]，
∴f（x）∈[0，2+

3

]；
（2）∵f（x）=2sinxcosx+2mcos²x
=sin2x+mcos2x+m，
∴f′（x）=2cos2x-2msin2x=2（cos2x-msin2x），
令f′（x）=0，得cos2x-msin2x=0，
解得m=

cos2x

sin2x

，
∴tan2x=

1

m

，
又∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x=π+arctan

1

m

，
∴x=

π

2

+

1

2

arctan

1

m

；
∴f（x）的最小值是
f（x）_min=sin2（

π

2

+

1

2

arctan

1

m

）+mcos2（

π

2

+

1

2

arctan

1

m

）+m
=-sin（arctan

1

m

）-mcos（arctan

1

m

）+m
設(shè)sin（arctan

1

m

）=t，
則t=-

1

1 tan2(arctan 1 m ) +1

=-

1

m2+1

，
∴cos（arctan

1

m

）=

1-t2

=

-m

m2+1

，
∴f（x）的最小值為
f（x）_min=

1

m2+1

-m•

-m

m2+1

+m=

1+m2

m2+1

+m=

1+m2

+m．

點評：本題考查了三角函數(shù)恒等式的化簡問題，也考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的問題，是綜合性題目，屬于難題．