Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（a+1）x-b²-2b，且f（x-1）=f（2-x），又知f（x）≥x恒成立．求：
（1）y=f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=log₂[f（x）-x-1]，求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（x-1）=f（2-x），得出f（x）的對稱軸，求出a的值，再由f（x）≥x恒成立，△≤0，求出b的值即可；
（2）求出g（x）的解析式，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，判斷g（x）的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）∵f（x-1）=f（2-x），
∴f（x）的對稱軸為x=

1

2

；  …（1分）
又∵函數(shù)f（x）=x²+（a+1）x-b²-2b，
∴-

a+1

2

=

1

2

，
解得a=-2，
∴f（x）=x²-x-b²-2b；  …（1分）
又∵f（x）≥x恒成立，
即x²-x-b²-2b≥x恒成立，
也即x²-2x-b²-2b≥0恒成立；
∴△=（-2）²-4（-b²-2b）≤0，…（1分）
整理得b²+2b+1≤0，
即（b+1）²≤0；
∴b=-1，…（2分）
∴f（x）=x²-x+1；   …（1分）
（2）∵g（x）=log₂[x²-x+1-x-1]=log₂（x²-2x），…（1分）
令u=x²-2x，則g（u）=log₂u；
由u=x²-2x＞0，得x＞2或x＜0，…（2分）
當(dāng)x∈（-∞，0）時，u=x²-2x是減函數(shù)，
當(dāng)x∈（2，+∞）時，u=x²-2x是增函數(shù)；  …（2分）
又∵g（u）=log₂u在其定義域上是增函數(shù)，…（1分）
∴g（x）的增區(qū)間為（2，+∞），減區(qū)間為（-∞，0）．   …（2分）

點評：本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了不等式恒成立的應(yīng)用問題，是綜合性題目．