Question

在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=1．
（1）求C的參數(shù)方程；
（2）若點(diǎn)A在圓C上，點(diǎn)B（3，0），當(dāng)點(diǎn)A在圓C上運(yùn)動時，求AB的中點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,軌跡方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：本題（1）可以先通過圓的極坐標(biāo)方程求出圓的平面直角坐標(biāo)方程，再通過三角代換將圓的普通方程化成參數(shù)方程；（2）利用參數(shù)方程設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到A、P的坐標(biāo)關(guān)系，消去參數(shù)，得到AB的中點(diǎn)P的軌跡方程，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=1，
∴圓的普通方程為：x²+y²=1，
∴圓的參數(shù)方程為：

x=cosθ y=sinθ

，(θ為參數(shù))．
（2）∵點(diǎn)A在圓C上，
∴設(shè)A（cosθ，sinθ），設(shè)AB的中點(diǎn)P（x，y），
∵點(diǎn)B（3，0），
∴

x= cosθ+3 2 y= sinθ 2

，
∴cosθ=2x-3，
sinθ=2y，
∵cos²θ+sin²θ=1，
∴(x-

3

2

)2+y2=

1

4

．
∴AB的中點(diǎn)P的軌跡方程為：(x-

3

2

)2+y2=

1

4

．

點(diǎn)評：本題考查了極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的關(guān)系、參數(shù)方程與普通方程的關(guān)系、參數(shù)法求軌跡方程，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．