Question

過橢圓

x2

2

+y²=1的一個焦點(diǎn)F作直線l交橢圓于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，橢圓的中心為O，當(dāng)△AOB面積最大時，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：向量與圓錐曲線,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：運(yùn)用直線方程，橢圓方程，聯(lián)合求弦長，求點(diǎn)0到直線的距離，把面積表示出來，用函數(shù)解決．

解答： 解：∵橢圓

x2

2

+y²=1，∴一個焦點(diǎn)F（1，0），
（1）設(shè)直線l的斜率為k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
y=k（x-1），且橢圓

x2

2

+y²=1，

2k2-2

2k2+1

可得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁．x₂=

2k2-2

2k2+1

|AB|=

2 2 (k2+1)

1+2k2

，O到直線的距離為h=

|k|

1+k2

，
△AOB面積為：

1

2

×

2 2 (k2+1)

1+2k2

×

|k|

1+k2

=

2

4+ 1 k4+k2

＜

2

2

（2）當(dāng)k不存時，A（1，

2

2

），B（1，-

2

2

），或A（-1，

2

2

），B（-1，-

2

2

），
△AOB面積都為

2

2

當(dāng)△AOB面積最大時，k不存在，
所以當(dāng)△AOB面積最大時，直線l的方程：x=1，x=-1

點(diǎn)評：本題綜合考查了函數(shù)，方程在直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，需要仔細(xì)運(yùn)算化簡．