Question

8．動(dòng)點(diǎn)A（x，y）在圓x²+y²=1上繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，6秒旋轉(zhuǎn)一周．已知時(shí)間t=0時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），則當(dāng)0≤t≤6時(shí)，動(dòng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t（單位：秒）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（　　）

• A． [0，1]
• B． [4，6]
• C． [1，3]
• D． [0，1]和[4，6]

Answer 1

分析 由已知求出動(dòng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t（單位：秒）的函數(shù)為：y=sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$），結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)0≤t≤6時(shí)，動(dòng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t（單位：秒）的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：∵動(dòng)點(diǎn)A（x，y）在圓x²+y²=1上繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，故A=1，
6秒旋轉(zhuǎn)一周，故T=6，ω=$\frac{π}{3}$，
時(shí)間t=0時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），故φ=$\frac{π}{6}$，
故動(dòng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t（單位：秒）的函數(shù)為：y=sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$），
由$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：x∈[-2+6k，1+6k]，k∈Z，
即函數(shù)y=sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$）的單調(diào)增區(qū)間為[-2+6k，1+6k]，k∈Z，
又∵0≤t≤6，
∴單調(diào)增區(qū)間為[0，1]，[4，6]，
故選：D

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是正弦型函數(shù)的解析式，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．