已知函數(shù)f(x)= (k為常數(shù),e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)),曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與x軸平行.
(1)求k的值;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè)g(x)=(x2+x)f ′(x),其中f ′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),證明:對任意x>0,g(x)<1+e-2.
(1)解:由f(x)=,
得f ′(x)=,x∈(0,+∞),
由于曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線與x軸平行.
所以f ′(1)=0,因此k=1.
(2)解:由(1)得f ′(x)= (1-x-xlnx),x∈(0,+∞),
令h(x)=1-x-xlnx,x∈(0,+∞),
當x∈(0,1)時,h(x)>0;當x∈(1,+∞)時,h(x)<0.
又ex>0,所以當x∈(0,1)時,f ′(x)>0;
當x∈(1,+∞)時,f ′(x)<0.
因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞).
(3)證明:因為g(x)=(x2+x)f ′(x),
所以g(x)= (1-x-xlnx),x∈(0,+∞).
因此,對任意x>0,g(x)<1+e-2等價于1-x-xlnx< (1+e-2).
由(2)知h(x)=1-x-xlnx,x∈(0,+∞),
所以h′(x)=-lnx-2=-(lnx-lne-2),x∈(0,+∞).
因此,當x∈(0,e-2)時,h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增;
當x∈(e-2,+∞)時,h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減.
所以h(x)的最大值為h(e-2)=1+e-2.
故1-x-xlnx≤1+e-2.
設(shè)φ(x)=ex-(x+1),則φ′(x)=ex-1=ex-e0,
所以當x∈(0,+∞)時,φ′(x)>0,φ(x)單調(diào)遞增,φ(x)>φ(0)=0,
故當x∈(0,+∞)時,φ(x)=ex-(x+1)>0,
即>1.
所以1-x-xlnx≤1+e-2< (1+e-2).
因此對任意x>0,g(x)<1+e-2.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知等差數(shù)列{an}的公差大于0,且a3,a5是方程x2-14x+45=0的兩根,數(shù)列{bn}的前n項的和為Sn,且Sn=1-
bn.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)記cn=an·bn,求證:cn+1≤cn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
對正整數(shù)n,設(shè)曲線y=xn(1-x)在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標為an,則數(shù)列的前n項和是________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知f(x)=ax3-2ax2+b(a≠0).
(1)求出f(x)的極值;
(2)若f(x)在區(qū)間[-2,1]上最大值是5,最小值是-11,求f(x)的解析式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-4在x=2處取得極值,若m、n∈[-1,1],則f(m)+f ′(n)的最小值是________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
定義在R上的函數(shù)f(x)滿足(x+2)f ′(x)<0(其中f ′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)),又a=f(log3),b=f[(
)0.1],c=f(ln3),則a,b,c的大小關(guān)系為______.(從大到小排列)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
一艘漁艇停泊在距岸9km處,今需派人送信給距漁艇3km處的海岸漁站,如果送信人步行速度每小時5km,船行速度每小時4km,問應(yīng)在何處登岸再步行可以使抵達漁站的時間最�。�
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