已知函數(shù)f(x)= (k為常數(shù),e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)),曲線yf(x)在點(1,f(1))處的切線與x軸平行.

(1)求k的值;

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(3)設(shè)g(x)=(x2x)f ′(x),其中f ′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),證明:對任意x>0,g(x)<1+e2.


 (1)解:由f(x)=

f ′(x)=,x∈(0,+∞),

由于曲線yf(x)在(1,f(1))處的切線與x軸平行.

所以f ′(1)=0,因此k=1.

(2)解:由(1)得f ′(x)= (1-xxlnx),x∈(0,+∞),

h(x)=1-xxlnx,x∈(0,+∞),

x∈(0,1)時,h(x)>0;當x∈(1,+∞)時,h(x)<0.

又ex>0,所以當x∈(0,1)時,f ′(x)>0;

x∈(1,+∞)時,f ′(x)<0.

因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞).

(3)證明:因為g(x)=(x2x)f ′(x),

所以g(x)= (1-xxlnx),x∈(0,+∞).

因此,對任意x>0,g(x)<1+e2等價于1-xxlnx< (1+e2).

由(2)知h(x)=1-xxlnx,x∈(0,+∞),

所以h′(x)=-lnx-2=-(lnx-lne2),x∈(0,+∞).

因此,當x∈(0,e2)時,h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增;

x∈(e2,+∞)時,h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減.

所以h(x)的最大值為h(e2)=1+e2.

故1-xxlnx≤1+e2.

設(shè)φ(x)=ex-(x+1),則φ′(x)=ex-1=ex-e0,

所以當x∈(0,+∞)時,φ′(x)>0,φ(x)單調(diào)遞增,φ(x)>φ(0)=0,

故當x∈(0,+∞)時,φ(x)=ex-(x+1)>0,

>1.

所以1-xxlnx≤1+e2< (1+e2).

因此對任意x>0,g(x)<1+e2.


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