Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1+x2

1-x2

．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）求證：f（

1

x

）+f（x）=0．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的定義域及其求法

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由分式的分母不為0，解不等式，即可得到定義域；
（2）先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再計(jì)算f（-x），與f（x）比較，即可得到奇偶性；
（3）計(jì)算f（

1

x

），再與f（x）求和，即可得證．

解答： （1）解：由解析式知，函數(shù)應(yīng)滿足1-x²≠0，即x≠1且x≠-1，
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x∈R|x≠1且x≠-1}；
（2 ）解：由（1）知定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
f（-x）=

1+(-x)2

1-(-x)2

=

1+x2

1-x2

=f（x），
∴f（x）為偶函數(shù)；
（3）證明：∵f（

1

x

）=

1+ 1 x2

1- 1 x2

=

x2+1

x2-1

，f（x）=

1+x2

1-x2

，
∴f（

1

x

）+f （x）=

x2+1

x2-1

+

1+x2

1-x2

=

x2+1

x2-1

-

x2+1

x2-1

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的定義域的求法，及函數(shù)的奇偶性的判斷，以及函數(shù)值的計(jì)算，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．