Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（3+x）+log_a（3-x），（a＞0且a≠1），
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（2）求關(guān)于x不等式f（x）＜0的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：指、對(duì)數(shù)不等式的解法,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=3時(shí)，由函數(shù)f（x）的解析式可得：3+x＞0且3-x＞0，由此求得函數(shù)的定義域．進(jìn)而根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到函數(shù)的值域；
（2）不等式f（x）＜0可化為log_a（3+x）•（3-x）＜log_aa，分當(dāng)a＞1和當(dāng)0＜a＜1時(shí)兩種情況，分別利用函數(shù)的單調(diào)性和定義域，可求得要求的不等式的解集．

解答： 解：（1）當(dāng)a=3時(shí)，f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x），
由3+x＞0且3-x＞0得：x∈（-3，3），
故函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?3，3），
又由f（x）=log₃（3+x）+log₃（3-x）=log₃（9-x²）中，
當(dāng)x=0時(shí)，9-x²取最大值9，此時(shí)f（x）取最大值2，
可得求函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，2]；
（2）函數(shù)f（x）=log_a（3+x）+log_a（3-x）=log_a（9-x²），
當(dāng)a＞1時(shí)，不等式f（x）＜0可化為：9-x²∈（0，1），
解得：x∈（-3，-2

2

）∪（2

2

，3），
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式f（x）＜0可化為：9-x²∈（1，+∞），
解得：x∈（-2

2

，2

2

），
故當(dāng)a＞1時(shí)，不等式f（x）＜0的解集為（-3，-2

2

）∪（2

2

，3），
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式f（x）＜0的解集為（-2

2

，2

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求函數(shù)的定義域、判斷函數(shù)的奇偶性，對(duì)數(shù)不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．