Question

用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)。
（Ⅰ）在組成的三位數(shù)中，求所有偶數(shù)的個(gè)數(shù)；
（Ⅱ）在組成的三位數(shù)中，如果十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字都小，則稱這個(gè)數(shù)為“凹數(shù)”，如301,423等都是“凹數(shù)”，試求“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)；
（Ⅲ）在組成的五位數(shù)中，求恰有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字夾在兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字之間的自然數(shù)的個(gè)數(shù)。

Answer 1

 （Ⅰ）共有30個(gè)符合題意的三位偶數(shù)。
（Ⅱ）共有20個(gè)符合題意的“凹數(shù)
（Ⅲ）共有28個(gè)符合題意的五位數(shù)

本試題主要是考查了排列組合在實(shí)際生活中的運(yùn)用。
（1）將所有的三位偶數(shù)分為兩類，個(gè)位數(shù)是0，個(gè)位數(shù)是2，或者4.來討論得到。
（2）將這些“凹數(shù)”分為三類：
若十位數(shù)字為0，則共有12（種）；若十位數(shù)字為1，則共有6（種）； 若十位數(shù)字為2，則共有2（種）
（3）將符合題意的五位數(shù)分為三類：
若兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字在一、三位置，則共有12（種）；
若兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字在二、四位置，則共有8（種）；
若兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字在三、五位置，則共有種得到結(jié)論。
解：（Ⅰ）將所有的三位偶數(shù)分為兩類：
（1）若個(gè)位數(shù)為0，則共有（種）；          1分
（2）若個(gè)位數(shù)為2或4，則共有（種）          2分
所以，共有30個(gè)符合題意的三位偶數(shù)。             3分
（Ⅱ）將這些“凹數(shù)”分為三類：
（1）若十位數(shù)字為0，則共有（種）；             4分
（2）若十位數(shù)字為1，則共有（種）；             5分
（3）若十位數(shù)字為2，則共有（種），
所以，共有20個(gè)符合題意的“凹數(shù)”          6分
（Ⅲ）將符合題意的五位數(shù)分為三類：
（1）若兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字在一、三位置，則共有（種）；        7分
（2）若兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字在二、四位置，則共有（種）；            8分
（3）若兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字在三、五位置，則共有（種），
所以，共有28個(gè)符合題意的五位數(shù)。           9分