Question

已知不等式|x-

(a+1)2

2

|≤

(a-1)2

2

，x²-3（a+1）x+2（3a+1）≤0的解集分別是A和B．問：“A⊆B”是“1≤a≤3，或a=-1”的充分條件嗎？

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：計算題,不等式的解法及應(yīng)用,集合,簡易邏輯

分析：由題意解出不等式，從而得到集合A、B；從而由A⊆B可求出a的取值范圍，從而確定“A⊆B”是“1≤a≤3，或a=-1”的充分條件．

解答： 解：解不等式|x-

(a+1)2

2

|≤

(a-1)2

2

得，
2a≤x≤a²+1，
故A={x|2a≤x≤a²+1}，
x²-3（a+1）x+2（3a+1）≤0可化為（x-2）（x-（3a+1））≤0；
①若3a+1=2，則a=

1

3

，此時A⊆B不成立；
②若3a+1＜2，即a＜

1

3

時，B={x|3a+1≤x≤2}，
則由A⊆B可得，3a+1≤2a≤a²+1≤2，
解得a=-1．
③若3a+1＞2，即a＞

1

3

時，B={x|2≤x≤3a+1}，
則由A⊆B可得，2≤2a≤a²+1≤3a+1，
解得1≤a≤3．
綜上所述，
1≤a≤3或a=-1；
故：“A⊆B”是“1≤a≤3，或a=-1”的充分條件．

點評：本是考查了不等式的解法與集合的化簡，同時考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．