Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a-

6

2x+1

．
（1）若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，求實數(shù)a的值；
（2）求證：不論a為何實數(shù)，函數(shù)f（x）是增函數(shù)；
（3）若f（1）=2，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（1）利用函數(shù)奇偶性的定義得到相應(yīng)的恒等式，化簡后，求出參數(shù)a的值；（2）利用函數(shù)單調(diào)性證明出函數(shù)是定義域上的增函數(shù)，得到本題結(jié)論；（3）根據(jù)條件f（1）=2，求出a的值，再利用指數(shù)函數(shù)的值域，求出原函數(shù)的值域，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意可知，f(x)+f(-x)=2a-

6

2x+1

-

6

2-x+1

=0，
∴a=

3

2x+1

+

3

2-x+1

=

3+3×2x

2x+1

=3，故a=3；
（2）由題意知，x∈R，
設(shè)x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

6(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，(2x1+1)(2x2+1)＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴不論a為何實數(shù)，函數(shù)f（x）是增函數(shù)；
（3）由f（1）=a-2=2可得，a=4，
∴f(x)=4-

6

2x+1

，
∵2^x＞0，∴2^x+1＞1，
故-

6

2x+1

∈(-6，0)，
∴f(x)=4-

6

2x+1

∈(-2，4)．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和函數(shù)的值域，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．