Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax-，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）-t²+t＜0對一切x∈（1，4）恒成立，求t的取值范圍；
（Ⅲ）證明：曲線f（x）上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為一值，并求此定值．

Answer 1

（Ⅰ）解：求導(dǎo)函數(shù)可得：
∵曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0．
∴f（2）=
∴a+=，
∴a=1，b=3
∴f（x）的解析式為；
（Ⅱ）解：f（x）-t²+t＜0對一切x∈（1，4）恒成立，即f（x）＜t²-t對一切x∈（1，4）恒成立
∵x∈（1，4），
∴函數(shù)f（x）在（1，4）上單調(diào)增，且
∴f（x）＜t²-t對一切x∈（1，4）恒成立，等價于≤t²-t
即t²-t-≥0
∴或
（Ⅲ）證明：設(shè)（x₀，）為曲線f（x）上任一點，則切線的斜率為，
切線方程為y-（）=，令x=0，可得
切線方程與直線y=x聯(lián)立，求得交點橫坐標(biāo)為x=2x₀
∴曲線f（x）上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值．
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0，建立方程，可求得a=1，b=3，從而可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）f（x）-t²+t＜0對一切x∈（1，4）恒成立，即f（x）＜t²-t對一切x∈（1，4）恒成立，求出函數(shù)的最大值，則問題轉(zhuǎn)化為f（x）＜t²-t對一切x∈（1，4）恒成立，等價于≤t²-t，從而可求t的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)（x₀，）為曲線f（x）上任一點，求出切線方程為，令x=0，可得，切線方程與直線y=x聯(lián)立，求得交點橫坐標(biāo)為x=2x₀，計算曲線f（x）上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積，即可得到結(jié)論．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是確定切線的方程．