Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|+|x-1|．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式f（x）≤3；
（2）若存在實(shí)數(shù)x使得f（x）≤3成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=2，原不等式變?yōu)椋簗x-1|+|x-2|≤3，下面利用對值幾何意義求解，利用數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)

3

2

左側(cè)的點(diǎn)與表示實(shí)數(shù)

1

2

右側(cè)的點(diǎn)與表示實(shí)數(shù)1與2的點(diǎn)距離之和小于等于3得到不等式解集；
（2）直接利用絕對值的幾何意義求得滿足存在實(shí)數(shù)x使得f（x）≤3成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=|x-1|+|x-2|，由f（x）≤3，得|x-1|+|x-2|≤3，
據(jù)絕對值幾何意義求解，|x-1|+|x-2|≤3幾何意義，是數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)x的點(diǎn)距離實(shí)數(shù)1，2表示的點(diǎn)距離之和小于等于3，
由于數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)

3

2

左側(cè)的點(diǎn)與表示實(shí)數(shù)

1

2

右側(cè)的點(diǎn)與表示實(shí)數(shù)1與2的點(diǎn)距離之和小于等于3．
∴所求不等式解集為：[

1

2

，

3

2

]；
（2）由絕對值的幾何意義知，數(shù)軸上若存在實(shí)數(shù)x表示的點(diǎn)到1的距離與到a的距離之和小于等于3，則1與a之間的距離必小于等于2，
即-2≤a≤4．
從而有a∈[-2，4]．

點(diǎn)評：本小題主要考查絕對值不等式、不等式的解法、充要條件等基礎(chǔ)知識，考查了絕對值的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，是中檔題．