Question

已知冪函數(shù)y=x m2-2m-3（m∈N^*）的圖象關(guān)于y軸對稱，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，求滿足不等式（2a²+1）^-m＜（4-a）^-m的a的取值范圍．

Answer 1

考點：冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵冪函數(shù)y=x m2-2m-3（m∈N^*）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴m²-2m-3＜0，解得-1＜m＜3，
∵m∈N^*，
∴m=1或2．
當(dāng)m=1時，y=x^-4為偶函數(shù)滿足條件，
當(dāng)m=2時，y=x^-3為奇函數(shù)不滿足條件，
則不等式等價為（2a²+1）^-1＜（4-a）^-1，
∵y=x^-1在（-∞，0）和（0，+∞）上都為減函數(shù)，
則2a²+1＞0，
則不等式等價為2a²+1＞4-a＞0，
解得1＜a＜4或a＜-

3

2

．

點評：本題主要考查不等式的求解，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)求出冪函數(shù)的表達式是解決本題的關(guān)鍵．