Question

15．設(shè)a，b，c為△ABC中∠A，∠B，∠C的對(duì)邊．
求證：a，b，c成等差數(shù)列的充要條件是：$a{cos^2}\frac{C}{2}+c{cos^2}\frac{A}{2}=\frac{3}{2}b$．

Answer 1

分析 利用正弦定理以及二倍角的余弦函數(shù)以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)方程，通過(guò)正弦定理求證結(jié)果．

解答 證明：充分性：由$a{cos^2}\frac{C}{2}+c{cos^2}\frac{A}{2}=\frac{3}{2}b$
⇒a（1+cosC）+c（1+cosA）
=a+c+acosC+ccosA=3b
⇒a+c=2b⇒即a，b，c成等差數(shù)列
必要性：因?yàn)樯厦坎骄�可逆，可得證必要性．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．